Question

已知：如圖，AB為⊙O的弦，OD⊥AB，垂足為點D，DO的延長線交⊙O于點C．過點C作CE⊥AO，分別與AB、AO的延長線相交于E、F兩點．CD=8，sin∠A=．
求：（1）弦AB的長；
（2）△CDE的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先設⊙O的半徑OA=r，那么OD=8-r．由OD⊥AB，得∠ADO=90°．于是由在Rt△AOD中，sin∠A==，可得．繼而求得r的長，然后由垂徑定理，求得弦AB的長；
（2）易證得△AOD∽△CED，然后由相似三角形面積的比等于相似比的平方，求得△CDE的面積．
解答：解：（1）設⊙O的半徑OA=r，
則OD=CD-OC=8-r．
∵OD⊥AB，
∴∠ADO=90°．
∵在Rt△AOD中，sin∠A==．
∴．
解得：r=5，
∴OA=5，OD=3．
利用勾股定理，得：AD==4，
∵OD⊥AB，O為圓心，
∴AB=2AD=8；

（2）∵CE⊥AO，
∴∠AFE=∠CDE=90°．
∴∠A+∠E=90°，∠C+∠E=90°，
∴∠A=∠C，
又∵∠ADO=∠CDE=90°，
∴△AOD∽△CED．
∴==，
∵S_△ACD=AD•OD=×4×3=6，
∴S_△CDE=4S_△ACD=24．
點評：此題考查了垂徑定理、相似三角形的判定與性質、勾股定理、直角三角形的性質以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．