Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=60°，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E．BD與CE相交于H，在BD上取一點M，使BM=CH．
（1）求證：∠BOC=∠BHC； 
（2）若OH=1，求MH的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓周角定理、四邊形內角和是360°即可求得∠BOC=2∠BAC=120°，∠DHE=120°；
（2）利用全等三角形△BOM≌△COH的對應邊、對應角相等可以推知OM=OH、∠COH=∠BOM，由等腰三角形的性質、三角形內角和定理可以求得∠OHM=（180°-120°）=30°；然后通過作輔助線OP構建直角△OHP，利用勾股定理即可求得OH與MH間的數量關系．
解答：（1）證明：∵∠BAC=60°（已知），
∴∠BOC=2∠BAC=120°（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）；
又∵∠BHC=∠DHE（對頂角相等），
∠DHE=360°-（90°+90°+∠BAC）=120°（四邊形的內角和定理），
∴∠BOC=∠BHC；

 （2）∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
又∠BOC=120°，
∴∠OBC=（180°-120°）=30°，而∠HBC=90°-∠BCA，
∴∠OBM=∠OBC-∠HBC=30°-（90°-∠BCA）=∠BCA-60°，
又∠OCH=∠HCB-∠BCO=∠HCB-（180°-120°）=∠HCB-30°，但∠HCA=90°-∠BAC=90°-60°=30°
∴∠OCH=∠HCB+∠HCA-30°-30°=∠BCA-60°
∴∠OBM=∠OCH；    
∵已知BM=CH，OB=OC，
∴△BOM≌△COH．
∴OH=OM，且∠COH=∠BOM；
∴∠OHM=∠OMH，∠MOH=∠BOC=120°
∠OHM=（180°-120°）=30°．
 在△OMH中作OP⊥MH，P為垂足，則
OP=OH，由勾股定理，得 
（MH）²=OH²-OP²=OH²-（OH ）²=，
∴MH=．
點評：本題考查了圓的綜合題．注意：全等三角形的判定與性質、勾股定理、圓周角定理以及四邊形內角定理的綜合運用．