Question

某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長（圖中所有黑線的長度和）為10米．當x等于多少米時，窗戶的透光面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：窗戶的透光面積就是外形面積=半圓面積+矩形面積，半圓面積易求，矩形的長為2x，根據材料總長用含x的式子表示寬，再表示出矩形面積，從而得出窗戶的面積表達式，運用函數性質求最大值．
解答：解：設窗戶上半部半圓的半徑為x（m），下半部矩形的寬為y（m），窗戶面積為S（m²），
則4y+6x+πx=10，y=
∵S_半圓=πx²，
S_矩形=2x•
=
S=S_半圓+S_矩形
=-3x²+5x
=-3[（x-）²-]
=-3（x-）²+．
∵-3＜0，
∴窗戶透光面積有最大值．當x=時，
S_最大=（m²），
所以當窗戶的半圓半徑為米時，窗戶的透光面積最大，最大面積是平方米．
點評：此題的關鍵在表示矩形的寬，涉及周長的有關計算問題，是關于周長、面積計算的綜合題．