Question

如圖所示，E，F，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，AD的中點．
（1）四邊形EFGH是平行四邊形嗎，為什么？
（2）若使四邊形ABCD對角線相等，那么四邊形EFGH為菱形嗎？
（3）當四邊形EFGH為矩形，正方形時，那么四邊形ABCD各應滿足什么條件？
（4）請補上你所認為四邊形ABCD應滿足的條件，證明四邊形EFGH為矩形．

Answer 1

分析：（1）四邊形EFGH是平行四邊形．連接AC、BD，根據中位線定理可得，四邊形EFGH的一組對邊平行且相等，則四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）如果四邊形ABCD對角線相等，根據（1）的推理可得四邊形EFGH的四邊相等，那么四邊形EFGH為菱形；
（3）當四邊形EFGH為矩形時，AC⊥BD；當四邊形EFGH為正方形時AC、BD互相垂直且相等．
（4）證明三個內角等于90°即可．

解答：解：（1）四邊形EFGH是平行四邊形，
連接AC、BD，（1分）
∵在△ABD中，E、H分別為AB、AD的中點，
∴EH平行且等于

1

2

BD．
∵在△BCD中，F、G分別為BC、CD的中點，
∴GF平行且等于

1

2

BD．                                                   （2分）
∴EH平行且等于GF．
∴四邊形EFGH是平行四邊形．                                             （1分）

（2）四邊形EFGH是菱形．                                                （2分）

（3）當四邊形EFGH為矩形時，
AC⊥BD（四邊形ABCD為菱形、正方形或者對角線互相垂直的四邊形）；（1分）
當四邊形EFGH為正方形時AC、BD互相垂直且相等（1分）

（4）設AC⊥BD于O，EF、BD交于M，EH、AC交于N，
根據（1）的推理可得EF∥AC，EH∥BD，
∴EMON為平行四邊形．
∵AC⊥BD，∴∠MON=90°．
∴EMON為矩形，∴∠HEF=90°．
同理可得，∠EHG=90°，∠EFG=90°．
∴四邊形EFGH為矩形．      （2分）

點評：此題綜合性強，主要考查了中位線定理、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定．