Question

已知二次函數的圖象以A（-1，4）為頂點，且過點B（2，-5）
①求該函數的關系式；
②求該函數圖象與坐標軸的交點坐標；
③將該函數圖象向右平移，當圖象經過原點時，A、B兩點隨圖象移至A′、B′，求△O A′B′的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線的頂點坐標，可用頂點式設該二次函數的解析式，然后將B點坐標代入，即可求出二次函數的解析式．
（2）根據的函數解析式，令x=0，可求得拋物線與y軸的交點坐標；令y=0，可求得拋物線與x軸交點坐標．
（3）由（2）可知：拋物線與x軸的交點分別在原點兩側，由此可求出當拋物線與x軸負半軸的交點平移到原點時，拋物線平移的單位，由此可求出A′、B′的坐標．由于△OA′B′不規則，可用面積割補法求出△OA′B′的面積．
解答：解：（1）設拋物線頂點式y=a（x+1）²+4
將B（2，-5）代入得：a=-1
∴該函數的解析式為：y=-（x+1）²+4=-x²-2x+3

（2）令x=0，得y=3，因此拋物線與y軸的交點為：（0，3）
令y=0，-x²-2x+3=0，解得：x₁=-3，x₂=1，即拋物線與x軸的交點為：（-3，0），（1，0）

（3）設拋物線與x軸的交點為M、N（M在N的左側），由（2）知：M（-3，0），N（1，0）
當函數圖象向右平移經過原點時，M與O重合，因此拋物線向右平移了3個單位
故A'（2，4），B'（5，-5）
∴S_△OA′B′=×（2+5）×9-×2×4-×5×5=15．
點評：本題考查了用待定系數法求拋物線解析式、函數圖象交點、圖形面積的求法等知識．不規則圖形的面積通常轉化為規則圖形的面積的和差．