Question

如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊BC于點D，其中邊AC與⊙O相切于點A，E為AC中點．
（1）求證：∠CAD=∠B；
（2）求證：DE是⊙O切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直徑所對的圓周角是直角的性質推知AD⊥BC；由切線的性質知AC⊥AB；所以∠CAD+∠DAB=∠DAB+∠B，即∠CAD=∠B；
（2）由于OD=OA，所以∠ODA=∠OAD，因為E為Rt△ACD的斜邊AC的中點，所以CE=AD=DE，所以∠EDB=∠EBD，因為∠OAD+∠EAD=90°，所以∠ODA+∠EDA=90°，所以DE與半圓O相切．
解答：證明：（1）∵AC與⊙O相切于點A，
∴AC⊥AB，
∴∠CAB=90°；
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠CAD+∠DAB=∠DAB+∠B，即∠CAD=∠B；

（2）∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD；
又∵E為Rt△ACD的斜邊AC的中點，
∴CE=AE=DE，
∴∠EDA=∠EAD，
∵∠OAD+∠EAD=90°，
∴∠ODA+∠EDA=90°，
∴DE與半圓O相切．
點評：本題考查了切線的性質、圓周角定理．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．