Question

平面內兩條直線l₁∥l₂，它們之間的距離等于a．一塊正方形紙板ABCD的邊長也等于a．現將這塊硬紙板如圖所示放在兩條平行線上．
（1）如圖1，將點C放置在直線l₂上，且AC⊥l₁于O，使得直線l₁與AB、AD相交于E、F，證明：△AEF的周長等于2a；
請你繼續完成下面的探索：
（2）如圖2，若繞點C轉動正方形硬紙板ABCD，使得直線l₁與AB、AD相交于E、F，試問△AEF的周長等于2a還成立嗎？并證明你的結論；
（3）如圖3，將正方形硬紙片ABCD任意放置，使得直線l₁與AB、AD相交于E、F，直線l₂與BC、CD相交于G，H，設△AEF的周長為m₁，△CGH的周長為m₂，試問m₁，m₂和a之間存在著什么關系？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接EC，FC，根據△BCE≌△OCE，得出BE=EO以及OF=FD，進而得出AE+AF+EF=AB+AD的值；
（2）證明△BCE≌△MCE進而得出△CMF≌△CDF，得BE=ME，MF=DF，從而得出AE+AF+EF=AB+AD=2a；
（3）根據（2）中結論，以及平行四邊形的性質得出FN=GC，NQ=GP，進而得出KN=GH，從從而求出AE+AF+EF+GC+CH+GH的值．
解答：（1）證明：連接EC，FC．
∵AC⊥l₁，
∴∠B=∠COE=90°．
在Rt△BCE和Rt△OCE中
又∵BC=CO=a，EC=EC，
∴△BCE≌△OCE（HL）．
∴BE=EO．同理OF=FD．
∴AE+AF+EF=AB+AD=2a．

（2）如圖4，過C作CM⊥EF于M，
則∠B=∠EMC=90°．
在Rt△BCE和Rt△MCE中，
∵BC=CM=a，EC=EC，
∴△BCE≌△MCE（HL），
同理△CMF≌△CDF
得BE=ME，MF=DF．
∴AE+AF+EF=AB+AD=2a．

（3）m₁+m₂=2a
證明：如圖5將l₁，l₂分別同時向下平移相同的距離，則l₄和l₃的距離還是a，使得l₄經過點C，l₃交AB于M，交AD于N
由（2）的證明知AM+MN+AN=2a，
過F作FK∥AB交MN于K．
∴四邊形EMKF為平行四邊形．
∴EF=MK，FK=EM，
∵作FQ⊥MN于Q，CP⊥GH于P．則FQ=CP．
∵FK∥AB，
∴∠FKQ=∠AMN．
作BJ∥MN，
∴∠AMN=∠ABJ．
∵∠ABJ+∠CBJ=90°，∠CBJ=∠BGT=∠CGP，∠CGP+∠GHC=90°．
∴∠FKQ=∠GHC．
∴△FQK≌△CPH
∴FK=CH，KQ=PH．
同理FN=GC，NQ=GP．
∴KN=GH．則AE+AF+EF+GC+CH+GH，
=AE+EM+AF+FN+MK+KN，
=AM+AN+MN，
=2a．
點評：此題主要考查了正方形的性質以及三角形全等的判定和平行線的性質等知識，利用三角形全等轉化線段之間的等量關系是解決問題的關鍵．