Question

【題目】已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA，EC．

（1）如圖1，若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；

（2）如圖2，若點P在線段AB的中點，連接AC，判斷△ACE的形狀，并說明理由；

（3）如圖3，若點P在線段AB上，連接AC，當EP平分∠AEC時，設AB=a，BP=b，求a：b及∠AEC的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△ACE是直角三角形；（3）：1，45°．

【解析】

試題分析：（1）由正方形的性質證明△APE≌△CFE，可得結論；

（2）分別證明∠PAE=45°和∠BAC=45°，則∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；

（3）分別計算PG和BG的長，利用平行線分線段成比例定理列比例式得：，即，解得：a=b，得出a與b的比，再計算GH和BG的長，由角平分線的逆定理得：∠HCG=∠BCG，由平行線的內錯角得：∠AEC=∠ACB=45°．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD和四邊形BPEF是正方形，∴AB=BC，BP=BF，∴AP=CF，在△APE和△CFE中，∵AP=CF，∠P=∠F，PE=EF，∴△APE≌△CFE，∴EA=EC；

（2）△ACE是直角三角形，理由是：

如圖2，∵P為AB的中點，∴PA=PB，∵PB=PE，∴PA=PE，∴∠PAE=45°，又∵∠BAC=45°，∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；

（3）設CE交AB于G，∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a，∵PE∥CF，∴，即，解得：a=b，∴a：b=：1，作GH⊥AC于H，∵∠CAB=45°，∴HG=AG=（2b﹣2b）=（2﹣）b，又∵BG=2b﹣a=（2﹣）b，∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，∴∠HCG=∠BCG，∵PE∥CF，∴∠PEG=∠BCG，∴∠AEC=∠ACB=45°．