Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，PB為⊙O的切線，B為切點，OP⊥弦BC于點D且交⊙O于點E．
（1）求證：∠OPB=∠AEC；
（2）若點C為半圓的三等分點，請你判斷四邊形AOEC為哪種特殊四邊形？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意得PB⊥AB．則∠OPB+∠POB=90°．再由OP⊥BC，得∠ABC+∠POB=90°．即可得出∠ABC=∠OPB．又∠AEC=∠ABC，得∠OPB=∠AEC；
（2）四邊形AOEC是菱形．有兩種解法：根據題意得出=．再由C為半圓的三等分點，得==．即∠ABC=∠ECB．從而得出AB∥CE，AC⊥BC．AC∥OE，四邊形AOEC是平行四邊形．又OA=OE，從而得出四邊形AOEC是菱形．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，PB為⊙O的切線，
∴PB⊥AB．
∴∠OPB+∠POB=90°．（1分）
∵OP⊥BC，
∴∠ABC+∠POB=90°．
∴∠ABC=∠OPB．（2分）
又∠AEC=∠ABC，
∴∠OPB=∠AEC．（3分）

（2）解：四邊形AOEC是菱形．
證法一：∵OP⊥弦BC于點D且交⊙O于點E，
∴=．（4分）
∵C為半圓的三等分點，
∴==．
∴∠ABC=∠ECB．（5分）
∴AB∥CE．（6分）
∵AB是⊙O的直徑，
∴AC⊥BC．（7分）
又 OP⊥弦BC于點D且交⊙O于點E，
∴AC∥OE．（8分）
∴四邊形AOEC是平行四邊形．（9分）
又 OA=OE，
∴四邊形AOEC是菱形．（10分）

證法二：連接OC．
∵C為半圓的三等分點，
∴∠AOC=60°．
∴∠ABC=∠AEC=∠OPB=30°．
由（1），得∠POB=90°-∠OPB=60°．
∴∠ECB=30°．
∴∠ABC=∠ECB=30°．
∴AB∥CE．
∵AB是⊙O的直徑，
∴AC⊥BC．
又 OP⊥弦BC于點D且交⊙O于點E，
∴AC∥OE．
∴四邊形AOEC是平行四邊形．
又 OA=OE，
∴四邊形AOEC是菱形．

證法三：連接OC，則OC=OA=OE．
∵C為半圓的三等分點，
∴∠AOC=60°．
∴△AOC為等邊三角形．
∴AC=AO．
∵OP⊥弦BC于點D且交⊙O于點E，
∴=．
∵C為半圓的三等分點，
∴==．
∴AC=CE．
∴AC=CE=OA=OE．
∴四邊形AOEC是菱形．
點評：本題考查了菱形的性質以及切線的判定，是中考壓軸題，難度較大．