Question

（2009•泰興市模擬）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC為斜邊向形外作等腰直角三角形，其面積分別是S₁、S₂、S₃且S₁+S₃=4S₂，則CD=    AB．

Answer 1

【答案】分析：分別用斜邊AD、AB、BC把S₁、S₂、S₃表示出來，然后根據S₁+S₃=4S₂求出AD、AB、BC之間的關系．在過點B作BK∥AD交CD于點K后，根據數據發現△KBC又是一個直角三角形，再次利用勾股定理即可發現CD和AB之間的關系．
解答：解：∵以AD、AB、BC為斜邊向外作等腰直角三角形，
其面積分別是S₁、S₂、S₃，
∴S₁=，S₂=，S₃=
∵S₁+S₃=4S₂，
∴AD²+BC²=4AB²
過點B作BK∥AD交CD于點K，
∵AB∥CD
∴AB=DK，AD=BK，∠BKC=∠ADC
∵∠ADC+∠BCD=90°
∴∠BKC+∠BCD=90°
∴BK²+BC²=CK²
∴AD²+BC²=CK²
∴CK²=4AB²
∴CK=2AB
∴CD=3AB．
點評：此題考查了等腰直角三角形的面積的求法，還考查了勾股定理，以及梯形的性質，特別要注意輔助線的作法．