Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，過⊙O上的點C的切線交AB的延長線于點E，AD⊥EC于點D且交⊙O于點F，連接BC，CF，AC．
（1）求證：BC=CF；
（2）若AD=6，DE=8，求BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的性質首先得出CO⊥ED，再利用平行線的判定得出CO∥AD，進而利用圓周角、圓心角定理得出BC=CF；
（2）首先求出△EOC∽△EAD，進而得出r的長，即可求出BE的長．
解答：（1）證明：如圖，連接OC，
∵ED切⊙O于點C，
∴CO⊥ED，
∵AD⊥EC，
∴CO∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
∵∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠CAD，
∴=，
∴BC=CF；

（2）解：在Rt△ADE中，
∵AD=6，DE=8，
根據勾股定理得AE=10，
∵CO∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴=，
設⊙O的半徑為r，
∴OE=10-r，
=，
∴r=，
∴BE=10-2r=．
點評：此題主要考查了切線的性質定理和圓周角及弧的關系、相似三角形的判定與性質等知識，得出=，是解題關鍵．