Question

如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），設BE=m，CD=n。

（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明；
（2）求m與n的函數關系式，直接寫出自變量n的取值范圍；
（3）以△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系（如圖2）在邊BC上找一點D，使BD=CE，求出D點的坐標，并通過計算驗證BD²+CE²=DE²；
（4）在旋轉過程中，（3）中的等量關系BD²+CE²=DE²是否始終成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

Answer 1

解：（1）△ABE∽△DAE， △ABE∽△DCA。  ∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°， ∴∠BAE=∠CDA， 又∠B=∠C=45°， ∴△ABE∽△DCA。 （2）∵△ABE∽△DCA， ∴， 由依題意可知，CA=BA=， ∴， ∴m=， ∴自變量n的取值范圍為1<n<2。 （3）由BD=CE，可得BE=CD，即m=n， ∵m=， ∴m=n=， ∵OB=OC=BC=1， ∴OE=OD=-1， ∴D(1-， 0)， ∴BD=OB-OD=1-(-1)=2-=CE， DE=BC-2BD=2-2(2-)=2-2， ∵BD2+CE2=(2BD)2=4(2-)2=12-8， DE=(2-2)2= 12-8， ∴BD2+CE2=DE2。
（4）成立。 證明：如圖，將△ACE繞點A順時針旋轉90°至△ABH的位置， 則CE=HB，AE=AH， ∠ABH=∠C=45°，旋轉角∠EAH=90°， 連接HD， 在△EAD和△HAD中， ∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD， ∴△EAD≌△HAD， ∴DH=DE， 又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°， ∴BD2+HB2=DH2， 即BD2+CE2=DE2。