Question

在直角坐標(biāo)系中，點A，B，C，D的坐標(biāo)依次是（1，0），（a，b），（1，6），（m，n），要使四邊形ABCD為菱形（A，B，C，D按逆時針排列），且面積為24，求B，D兩點的坐標(biāo)．

Answer 1

解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴對角線AC⊥BD，且CE=AE；
∵A，C的坐標(biāo)依次是（1，0），（1，6），
∴A、C在平行于y軸的直線x=1上，且E（1，3）
∴B、D、E應(yīng)該在平行于x軸的直線上；
∵B，D的坐標(biāo)依次是（a，b），（m，n），
∴b=n=3；
又∵菱形ABCD的面積是24，
∴S_菱形ABCD=BD•AC=|m-a|•（6-0）=24，即|m-a|=8；
又∵DE=BE，
∴|m-1|=|a-1|=|m-a|=4；
又∵A，B，C，D按逆時針排列（如圖所示），
∴m=5，a=-3，
∴B（5，3）、D（-3，3）．
分析：由點A，C的坐標(biāo)知點A、C在平行于y軸的直線x=1上，根據(jù)菱形的性質(zhì)：對角線相互垂直且平分，來求點E的坐標(biāo)為（1，3）及B、D、應(yīng)該在平行于x軸的直線上；然后根據(jù)菱形的面積公式S_菱形ABCD=BD•AC及兩點間的距離公式求得
BD=8；最后根據(jù)兩點間的距離公式求得DE=BE=4，即|m-1|=|a-1|=|m-a|=4，所以m=5，a=-3，從而求得B、D兩點的坐標(biāo)．
點評：本題考查了是菱形的性質(zhì)、點的坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．解題時，采用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，通過菱形的對角線互相垂直平分及兩點間的距離公式來求得B、D兩點的坐標(biāo)．