Question

（2013•黃岡）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是梯形，其中A（6，0），B（3，

3

），C（1，

3

），動點P從點O以每秒2個單位的速度向點A運動，動點Q也同時從點B沿B→C→O的線路以每秒1個單位的速度向點O運動，當點P到達A點時，點Q也隨之停止，設點P，Q運動的時間為t（秒）．
（1）求經過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（2）當點Q在CO邊上運動時，求△OPQ的面積S與時間t的函數關系式；
（3）以O，P，Q頂點的三角形能構成直角三角形嗎？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；
（4）經過A，B，C三點的拋物線的對稱軸、直線OB和PQ能夠交于一點嗎？若能，請求出此時t的值（或范圍），若不能，請說明理由）．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求出二次函數解析式即可；
（2）根據已知得出△OPQ的高，進而利用三角形面積公式求出即可；
（3）根據題意得出：0≤t≤3，當0≤t≤2時，Q在BC邊上運動，得出若△OPQ為直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，當2＜t≤3時，Q在OC邊上運動，得出△OPQ不可能為直角三角形；
（4）首先求出拋物線對稱軸以及OB直線解析式和PM的解析式，得出

3

（1-t）×

3

=3-t-2t，恒成立，即0≤t≤2時，P，M，Q總在一條直線上，再利用2＜t≤3時，求出t的值，根據t的取值范圍得出答案．

解答：解：（1）設所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把A（6，0），B（3，

3

），C（1，

3

）三點坐標代入得：

36a+6b+c=0 9a+3b+c= 3 a+b+c= 3

，
解得：

a=- 3 15 b= 4 3 15 c= 4 3 5

，
即所求拋物線解析式為：y=-

3

15

x²+

4 3

15

x+

4 3

5

；

（2）如圖1，依據題意得出：OC=CB=2，∠COA=60°，
∴當動點Q運動到OC邊時，OQ=4-t，
∴△OPQ的高為：OQ×sin60°=（4-t）×

3

2

，
又∵OP=2t，
∴S=

1

2

×2t×（4-t）×

3

2

=-

3

2

（t²-4t）（2≤t≤3）；

（3）根據題意得出：0≤t≤3，
當0≤t≤2時，Q在BC邊上運動，此時OP=2t，OQ=

3+(3-t)2

，
PQ=

3+[2t-(3-t)]2

=

3+(3t-3)2

，
∵∠POQ＜∠POC=60°，
∴若△OPQ為直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OPQ=90°，如圖2，則OP²+PQ²=QO²，即4t²+3+（3t-3）²=3+（3-t）²，
解得：t₁=1，t₂=0（舍去），
若△OPQ為直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OQP=90°，如圖，3，則OQ²+PQ²=PO²，即（3-t）²+6+（3t-3）²=4t²，
解得：t=2，
當2＜t≤3時，Q在OC邊上運動，此時OP=2t＞4，
∠POQ=∠COP=60°，
OQ＜OC=2，
故△OPQ不可能為直角三角形，
綜上所述，當t=1或t=2時，△OPQ為直角三角形；

（4）由（1）可知，拋物線y=-

3

15

x²+

4 3

15

x+

4 3

5

=-

3

15

（x-2）²+

16 3

15

，
其對稱軸為x=2，
又∵OB的直線方程為y=

3

3

x，
∴拋物線對稱軸與OB交點為M（2，

2 3

3

），
又∵P（2t，0）
設過P，M的直線解析式為：y=kx+b，
∴

2 3 3 =2k+b k×2t+b=0

，
解得：

k= 3 3(1-t) b= -2 3 t 3(1-t)

，
即直線PM的解析式為：y=

3

3(1-t)

x-

2 3 t

3(1-t)

，
即

3

（1-t）y=x-2t，
又0≤t≤2時，Q（3-t，

3

），代入上式，得：

3

（1-t）×

3

=3-t-2t，恒成立，
即0≤t≤2時，P，M，Q總在一條直線上，
即M在直線PQ上；
當2＜t≤3時，OQ=4-t，∠QOP=60°，
∴Q（

4-t

2

，

3 (4-t)

2

），
代入上式得：

3 (4-t)

2

×

3

（1-t）=

4-t

2

-2t，
解得：t=2或t=

4

3

（均不合題意，舍去）．
∴綜上所述，可知過點A、B、C三點的拋物線的對稱軸OB和PQ能夠交于一點，此時0≤t≤2．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及待定系數法求二次函數解析式和待定系數法求一次函數解析式等知識，利用分類討論思想得出t的值是解題關鍵．