Question

已知二次函數y=-x²+2x+m的圖象與x軸分別交于A、B兩點（點A在點B的左邊），以AB為直徑作⊙C，⊙C與y軸正半軸交于D，點P為劣弧上一動點，連接AP、BD兩弦相交于點E，連接PB，AD，
（1）求點C的坐標；
（2）若⊙C的半徑為3時，求m的值；
（3）請探索當點P運動到什么位置時，使得△ADE與△APB相似，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于C是圓心，即直徑AB的中點，根據圓和拋物線的對稱性知，C點即為拋物線對稱軸與x軸的交點，根據拋物線的解析式易求得對稱軸方程，由此可得C點坐標．
（2）已知了⊙C的半徑，結合C點坐標，可得到A、B的坐標，即可用待定系數法求得m的值．
（3）由圓周角定理知：∠ADE=∠APB=90°，若△ADE與△APB相似，則必有∠DAP=∠PAB，因此只有當P點運動到劣弧BD的中點時，此題的條件才成立．
解答：解：（1）由拋物線的解析式可得對稱軸為：x=1；
由于A、B是拋物線與x軸的交點，且AB是⊙C的直徑，由拋物線和圓的對稱性知：C（1，0）．

（2）若⊙C的半徑為3，則A（-2，0），B（4，0）；
則拋物線的解析式為：y=-（x+2）（x-4）=-x²+2x+8；
故m=8．

（3）當P點運動到劣弧BD的中點時，△ADE與△APB相似；
證明：如圖；
∵P是劣弧BD的中點，
∴∠DAP=∠PAB；
又∵AB是⊙C的直徑，
∴∠ADE=∠APB=90°，
∴△ADE∽△APB．
點評：此題主要考查了拋物線、圓的對稱性，二次函數解析式的確定，圓周角定理的應用等知識，難度不大．