Question

已知：如圖，四邊形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等邊三角形，且點P在矩形上方，點Q在矩形內(nèi)．
（1）求∠PCQ的度數(shù)；
（2）求證：∠APB=∠QPC．

Answer 1

分析：（1）首先求得∠QCE，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得∠PCQ=60°-∠QCP即可求解；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可以證得四邊形ABCD是矩形AB=DC，則AB=QC．即可證得△PBA≌△PCQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得．

解答：（1）解：∵△PBC是等邊三角形，
∴∠PCB=60°，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，
∴∠DCP=30°，（1分）
同理∠QCB=30°∠ABP=30°，
∴∠PCQ=30°，（2分）

（2）證明：∵△PBC是等邊三角形，
∴PB=PC，
∵△QCD是等邊三角形，
∴CD=QC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，
∴AB=QC，（3分）
在△PBA和△PCQ中

BP=PC ∠PBA=∠PCQ AB=CQ

，
∴△PBA≌△PCQ（SAS），（4分）
∴∠APB=∠QPC．（5分）

點評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確證明△PBA≌△PCQ是解題的關鍵．