Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AD是弦，OC⊥AD于F，交⊙O于點E，∠BED=∠C．
（1）求證：AC為⊙O的切線；
（2）若OA=6，AC=8，求cos∠D的值．

Answer 1

（1）證明：由圓周角定理知∠BED=∠DAB，
∵∠BED=∠C，
∴∠DAB=∠C，
∵∠AOF=∠AOC，
∴△AOF∽△AOC，
∴∠AFO=∠CAO=90°，
∴AC為⊙O的切線．

（2）解：∵OA=6，AC=8，
∴cos∠AOC=，
∵∠AOC=2∠D，
∴cos∠D=．
分析：（1）由圓周角定理知∠BED=∠DAB，進步證明△AOF∽△OAC，求得∠OAC=90°，
（2）首先求出cos∠AOC，由∠AOC=2∠D，求得cos∠D．
點評：本題考查了切線的判定，垂徑定理等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．