Question

如圖，拋物線y=x²-2x-2交x軸于A、B兩點，頂點為C，經過A、B、C三點的圓的圓心為M．
（1）求圓心M的坐標；
（2）求⊙M上劣弧AB的長；
（3）在拋物線上是否存在一點D，使線段OC和MD互相平分？若存在，直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求得A、B的坐標，則AB的長即可求得，作拋物線對稱軸x=1交AB于點N，則N的坐標可以求得，NC的長度可以求得，然后在直角△MNB中，利用勾股定理即可求得半徑的長；
（2）利用三角函數即可求得∠NMB的度數，即可求得∠AMB的度數，然后利用弧長公式即可求解；
（3）若線段OC和MD互相平分，則四邊形OMCD必定是平行四邊形，利用平行四邊形的性質即可求解．
解答：解：（1）∵y=x²-2x-2∴y=（x-1）²-3，
∴對稱軸為x=1，頂點C（1，-3）．
又∵拋物線y=x²-2x-2與x軸交點A（，0）、B（，0），
∴．
作拋物線對稱軸x=1交AB于點N，則N（1，0），
∴圓心M在對稱軸x=1上，連接MB，
∵⊙M中，MN⊥AB，
∴．
設⊙M半徑為r，則MC=MB=r，
∵C（1，-3），
∴CN=3
∴MN=CN-MC=3-r．
∵Rt△BMN中MN²+BN²=MB²
∴解得r=2
∴MN=3-r=3-2=1
∵ON=1
∴圓心M的坐標為（1，-1）

（2）∵△BMN中，∠MNB=90°，MB=r=2，MN=1
∴
∴∠NMB=60°
∴∠AMB=2∠NMB=120°
∴⊙M上劣弧AB的長為

（3）若線段OC和MD互相平分，則四邊形OMCD必定是平行四邊形，
∴MC∥OD且MC=OD．
∵MC=r=2，
∴點D即為點O向下平移2個單位得點，
∴點D坐標為（0，-2）．
點評：本題考查了垂徑定理、三角函數以及弧長公式、平行四邊形的性質的綜合應用，正確求得M的坐標是關鍵．