Question

（2013•朝陽區二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x、y軸分別交于點A、B，且A（-2，0），B（0，1），在直線AB上截取BB₁=AB，過點B₁分別作x、y軸的垂線，垂足分別為點A₁、C₁，得到矩形OA₁B₁C₁；在直線AB上截取B₁B₂=BB₁，過點B₂分別作x、y軸的垂線，垂足分別為點A₂、C₂，得到矩形OA₂B₂C₂；在直線AB上截取B₂B₃=B₁B₂，過點B₃分別作x、y軸的垂線，垂足分別為點A₃、C₃，得到矩形OA₃B₃C₃；…則第3個矩形OA₃B₃C₃的面積是

24

；第n個矩形OA_nB_nC_n的面積是

2n²+2n

（用含n的式子表示，n是正整數）．

Answer 1

分析：設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），再把點A（-2，0），B（0，1）代入即可求出kb的值，故可得出一次函數的解析式，根據兩點間的距離公式求出AB的長，設出B₁，B₂，B₃的坐標，根據BB₁=AB，B₁B₂=BB₁，B₂B₃=B₁B₂即可得出B₁，B₂，B₃的坐標，進而得出矩形的面積，找出規律即可得出結論．

解答：解：設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵點A（-2，0），B（0，1）在直線AB上，
∴

-2k+b=0 b=1

，解得

k= 1 2 b=1

，
∴直線AB的解析式為y=

1

2

x+b，
∴AB=

(-2-0)2+(0-1)2

=

5

，
設B₁（x₁，

1

2

x₁+b），B₂（x₂，

1

2

x₂+b），B₃（x₃，

1

2

x₃+b）的坐標，
∵BB₁=AB，B₁B₂=BB₁，B₂B₃=B₁B₂，
∴（x₁-0）²+（

1

2

x₁+1-1）²=（

5

）²，解得x=2或x=-2（舍去），
∴B₁（2，2），
同理可得B₂（4，3），B₃（6，4），
∴S_{矩形OA1B1C1}=2×2=2×（1+1）=4；
S_{矩形OA2B2C2}=4×3=2×2×（2+1）=12；
S_{矩形OA3B3C3}=6×4=2×3×（3+1）=14，
∴第n各矩形的面積=2n（n+1）=2n²+2n．
故答案為：24；2n²+2n．

點評：本題考查的是一次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數的解析式、矩形的面積、一次函數圖象上點的坐標特點等知識，難度適中．