Question

如圖所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC．
（1）∠MON=

60°

；
（2）如果∠AOB=α，∠BOC=β，其它條件不變，那么∠MON=

1

2

（α+β）

 （用含α，β的式子表示）；
（3）若將條件變成O是直線AC上一點，OB為一條射線，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，請你猜想一個結論，并說明它是正確的．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線的定義得到∠BOM=

1

2

∠AOB=45°，∠NOB=

1

2

∠BOC=15°，則∠MON=∠BOM+∠BON=60°；
（2）同理得到∠BOM=

1

2

∠AOB=

1

2

α，∠NOB=

1

2

∠BOC=

1

2

β，則∠MON=∠BOM+∠BON=

1

2

α+

1

2

β=

1

2

（α+β）；
（3）由O是直線AC上一點得到∠AOC=180°，根據角平分線的定義得到∠BOM=

1

2

∠AOB，∠NOB=

1

2

∠BOC，所以∠MON=∠BOM+∠BON=

1

2

（∠AOB+∠BOC）=

1

2

∠AOC．

解答：解（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠BOM=

1

2

∠AOB=45°，∠NOB=

1

2

∠BOC=15°，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=60°；

（2）∵∠BOM=

1

2

∠AOB=

1

2

α，∠NOB=

1

2

∠BOC=

1

2

β，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=

1

2

α+

1

2

β=

1

2

（α+β）；

（3）∠MON=90°．理由如下：
∵O是直線AC上一點，
∴∠AOC=180°，
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠BOM=

1

2

∠AOB，∠NOB=

1

2

∠BOC，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=

1

2

（∠AOB+∠BOC）=

1

2

∠AOC=90°．

點評：本題考查了角度的計算：∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB=∠AOC+∠BOC；∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．