Question

如圖，在直角坐標系xoy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸上，且OC＝，tan∠OAC＝，將△OAC沿AC翻折使點O落在坐標平面內的B點處．

(1)求B點的坐標；

(2)二次函數y＝ax²＋bx＋c的圖象經過O、B、A三點，求這個二次函數的解析式；

(3)在(2)中的二次函數圖象上是否存在一點P，使以P、A、B、O為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出P點坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵tan∠OAC＝，∴有∠OAC＝30° 　　∴OC＝，OA＝4…………1分 　　由△OAC沿AC翻折知，OB⊥AC，所以∠BOA＝60° 　　∠OAB＝2∠OAC＝60°，知△OAB是等邊三角形 　　所以OB＝OA＝4 　　因為 　　所以 　　　即B(2，)………………2分 　　(2)因為二次函數的圖象經過O、B、A三點 　　所以設其為 　　因為A(4，0)，B(2，)，將其代入，得 　　　得 　　所以………………………………4分 　　說明：用其它方法正確得到解析式，同樣給分． 　　(3)若存在點P使四邊形PABO為梯形 　　因為B為拋物線頂點，所以OA不可能為梯形的底 　　①當OB∥P1A時，有∠OAD＝60° 　　設交y軸于點D，因為OA＝4，所以D(0，) 　　設過A、D的直線解析式為() 　　所以 　　得 　　因為P1是二次函數圖象與直線AD的交點 　　所以 　　解出　或 　　因為A(4，0)，所以………………6分 　　過作PM⊥x軸于M點，則線段 　　所以線段P1A＝12，OB＝4 　　在四邊形P1ABO中，BO∥AP1，且，所以四邊形是梯形……7分 　　②當時，同理可求出另一個點………………8分 　　說明：只要正確說明一組對邊不平行的理由給1分．