Question

（2011•南充）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中點．
（1）求證：△MDC是等邊三角形；
（2）將△MDC繞點M旋轉，當MD（即MD′）與AB交于一點E，MC（即MC′）同時與AD交于一點F時，點E，F和點A構成△AEF．試探究△AEF的周長是否存在最小值．如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出△AEF周長的最小值．

Answer 1

（1）證明：過點D作DP⊥BC，于點P，過點A作AQ⊥BC于點Q，

∵∠C=∠B=60°
∴CP=BQ=AB，CP+BQ=AB，
又∵ADPQ是矩形，AD=PQ，
故BC=2AD，
由已知，點M是BC的中點，
BM=CM=AD=AB=CD，
即△MDC中，CM=CD，∠C=60°，
故△MDC是等邊三角形．
（2）解：△AEF的周長存在最小值，理由如下：
連接AM，由（1）平行四邊形ABMD是菱形，
△MAB，△MAD和△MC′D′是等邊三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，
∴∠BME=∠AMF，
在△BME與△AMF中，BM=AM，∠EBM=∠FAM=60°，
∴△BME≌△AMF（ASA），
∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，
∵∠EMF=∠DMC=60°，故△EMF是等邊三角形，EF=MF，
∵MF的最小值為點M到AD的距離，即EF的最小值是，
△AEF的周長=AE+AF+EF=AB+EF，
△AEF的周長的最小值為2+，
答：存在，△AEF的周長的最小值為2+．

解析