Question

將一副三角板如示意圖擺放在一起，請在圖1或圖2中任選一個圖形進行解答．
（1）連接DA，計算∠BDA的余切值；
（2）求作一個二次項系數為1的一元二次方程，使cot∠BDA和2tan∠BDA為此方程的兩個根．

Answer 1

解：（1）如圖所示，過點A作AE⊥BD于E，
設AB=a，
在Rt△ABC中，∠BCA=30°，那么可知
BC=cot30°×AB=a，
在Rt△BCD中，BD=sin45°×BC=a，
又∵AE⊥BD，∠CBD=45°，
∴BE=AE=sin45°×a=a，
∴在Rt△ADE中，cot∠EDA====-1；
即cot∠BDA=-1．

（2）設所求作的二次項系數為1的一元二次方程為x²+px+q=0，
∵cot∠BDA=-1，
∴tan∠BDA=，
∴p=-（cot∠BDA+2tan∠BDA）=-（-1+2×）=-2，
q=cot∠BDA×2tan∠BDA=（-1）×2×=2，
∴所求作的一元二次方程為x²-2x+2=0．
分析：（1）如圖2先過點A作AE⊥BD于E，設AB=a，在Rt△ABC中，利用cot30°=，可求BC，在Rt△BCD中，利用sin45°=，又可求BD，易證△ABE是等腰直角三角形，從而利用sin45°=，可求AE、BE，于是在Rt△ADE中，可求cot∠EDA==，即cot∠BDA的值．
（2）由（1）可求出tan∠BAD，設所求作的二次項系數為1的一元二次方程為x²+px+q=0，根據根和系數的關系求出p和q，從得出一個二次項系數為1的一元二次方程，使cot∠BDA和2tan∠BDA為此方程的兩個根．
點評：本題考查了直角三角形的性質、特殊三角函數值．解本題最關鍵的是作輔助線AE，構造直角三角形．