Question

如圖，已知AD與BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．
（1）求證：CD∥AB；
（2）求證：△BDE≌△ACE；
（3）若O為AB中點，求證：OF=BE．

Answer 1

【答案】分析：（1）有BD=CD，可得∠1=∠BCD，那么就有∠2=∠BCD，從而CD∥AB；
（2）由∠2=∠3，可得BE=AE，又因為CD∥AB，同樣可知DE=CE，根據SAS即可證出：△BDE≌△ACE；
（3）由于O是AB的中點，因此只需證得AF=EF即可得出OF是△ABE的中位線，進而可得出OF=BE．根據（2）的全等三角形，可得出∠ACE=90°，因此可通過證CF是直角三角形ACE斜邊上的中線，來得出AF=EF．
解答：證明：（1）∵BD=CD，
∴∠BCD=∠1；
∵∠1=∠2，
∴∠BCD=∠2；
∴CD∥AB．

（2）∵CD∥AB，∴∠CDA=∠3．
∵∠BCD=∠2=∠3，
∴BE=AE．
且∠CDA=∠BCD，
∴DE=CE．
在△BDE和△ACE中，
∵DE=CE，∠DEB=∠CEA，BE=AE．
∴△BDE≌△ACE；

（3）∵△BDE≌△ACE，
∴∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90°
∴∠ACH=90°-∠BCH；
又∵CH⊥AB，
∴∠2=90°-∠BCH；
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4，
∴AF=CF；
∵∠AEC=90°-∠4，∠ECF=90°-∠ACH，
又∵∠ACH=∠4，
∴∠AEC=∠ECF；
∴CF=EF；
∴EF=AF；
∵O為AB中點，
∴OF為△ABE的中位線；
∴OF=BE．
點評：本題利用了內錯角相等，兩直線平行，以及全等三角形的判定和性質，等角對等邊，中位線的判定等知識．綜合性強，難度較大．