Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD對(duì)角線交于點(diǎn)O，AE⊥CD于E，AE=OD，則∠CAE=_____．

Answer 1

【答案】30°

【解析】分析：由四邊形ABCD為菱形，得到對(duì)角線互相垂直，進(jìn)而得到一對(duì)直角相等，再由對(duì)頂角相等，得到△AFO與△DFE相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，利用ASA得到△AEC與△DOC全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AC=CD，進(jìn)而確定出△ACD為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及三線合一性質(zhì)即可求出所求角的度數(shù)．

詳解：∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD，AD=DC， ∵AE⊥CD， ∴∠AEC=∠DOC=90°，

∵∠AOD=∠AED=90°，∠AFO=∠DFE， ∴△AFO∽△DFE， ∴∠CAE=∠CDO，

∴△AEC≌△DOC（ASA）， ∴AC=CD， ∴AC=CD=AD，即△ACD為等邊三角形，

∵AE⊥CD， ∴AE為∠CAD的平分線， 則∠CAE=30°． 故答案為：30°．