Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是邊AB的中點，點E在邊BC上，AE=BE，點M是AE的中點，聯結CM，點G在線段CM上，作∠GDN=∠AEB交邊BC于N．
（1）如圖2，當點G和點M重合時，求證：四邊形DMEN是菱形；
（2）如圖1，當點G和點M、C不重合時，求證：DG=DN．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖2中，

∵AM=ME．AD=DB，

∴DM∥BE，

∴∠GDN+∠DNE=180°，

∵∠GDN=∠AEB，

∴∠AEB+∠DNE=180°，

∴AE∥DN，

∴四邊形DMEN是平行四邊形，

∵DM= BE，EM= AE，AE=BE，

∴DM=EM，

∴四邊形DMEN是菱形

（2）如圖1中，取BE的中點F，連接DM、DF．

由（1）可知四邊形EMDF是菱形，

∴∠AEB=∠MDF，DM=DF，

∴∠GDN=∠AEB，

∴∠MDF=∠GDN，

∴∠MDG=∠FDN，

∵∠DFN=∠AEB=∠MCE，∠GMD=∠EMD+∠CME，、

在Rt△ACE中，∵AM=ME，

∴CM=ME，

∴∠MCE=∠CEM=∠EMD，

∴∠DMG=∠DFN，

∴△DMG≌△DFN，

∴DG=DN．

【解析】（1）如圖2中，首先證明四邊形DMEN是平行四邊形，再證明ME=MD即可證明．（2）如圖1中，取BE的中點F，連接DM、DF．只要證明△DMG≌△DFN即可．