Question

如圖，在直角坐標平面內，O為原點，已知拋物線y=x²+bx+3經過點A（3，0），與y軸的交點為B，設此拋物線的頂點為C．
（1）求b的值和C的坐標；
（2）若點C₁與C關于x軸對稱，求證：點C₁在直線AB上；
（3）在（2）的條件下，在拋物線y=x²+bx+3的對稱軸上是否存在一點D，使四邊形OC₁DB是等腰梯形？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²+bx+3經過點A（3，0），
∴9+3b+3=0，
解得：b=-4，
∴此拋物線的解析式為：y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴此拋物線的頂點為C的坐標為（2，-1）；

（2）∵點C₁與C關于x軸對稱，
∴點C₁的坐標為（2，1），
∵當x=0時，y=3，
∴點B的坐標為（0，3），
設直線AB的解析式為：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直線AB的解析式為：y=-x+3，
∵-2+3=1，
∴點C₁在直線AB上；

（3）存在．
如圖1，若BD∥OC₁，
∵直線OC₁的解析式為：y=x，
∴設直線BD的解析式為：y=x+b，
則b=3，
∴直線BD的解析式為：y=x+3，
設點D（a，a+3），
∵AB=C₁D，
∴（a-2）²+（a+3-1）²=9，
∴a=-（不合題意，舍去）或a=2（此題是平行四邊形，舍去）；
如圖2，當DC₁∥OB，
過點D作DE⊥OB于E，過點C作FC⊥x軸于F，
∵四邊形OC₁DB是等腰梯形，
∴BE=CF=1，DE=OF=2，
∴CD=OB-2BE=3-2=1，
∴DF=2，
∴點D的坐標為（2，2）．
故帶D的坐標為（2，2）．
分析：（1）由拋物線y=x²+bx+3經過點A（3，0），利用待定系數法即可求得b的值，然后求得此拋物線的解析式，配方，即可求得頂點為C的坐標；
（2）由點C₁與C關于x軸對稱，即可求得點C₁的坐標，又由待定系數法求得直線AB的解析式，即可證得點C₁在直線AB上；
（3）分為若BD∥OC₁與DC₁∥OB去分析，根據平行線的性質與等腰三角形的性質，即可求得點D的坐標．
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，等腰梯形的性質，平行線的性質以及點與函數的關系．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想、分類討論思想與數形結合思想的應用．