Question

（2012•澄海區模擬）若a是不為1的有理數，我們把

1

1-a

稱為a的差倒數．如：2的差倒數是

1

1-2

=-1，-1的差倒數是

1

1-(-1)

=

1

2

．已知a₁=-

1

3

，a₂是a₁的差倒數，a₃是a₂的差倒數，a₄是a₃的差倒數，…，依此類推．
（1）分別求出a₂，a₃，a₄的值；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a₂₁₆₀的值．

Answer 1

分析：（1）根據差倒數的定義進行計算即可得解；
（2）根據計算可知，每三個數為一個循環組循環，求出每一個循環組的三個數的和，再用2160除以3求出正好有720個循環組，然后求解即可．

解答：解：（1）∵a₁=-

1

3

，
∴a₂=

1

1-(- 1 3 )

=

3

4

，
a₃=

1

1- 3 4

=4，
a₄=

1

1-4

=-

1

3

；

（2）根據（1）可知，每三個數為一個循環組循環，
∵a₁+a₂+a₃=-

1

3

+

3

4

+4=

53

12

，2160÷3=720，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₁₆₀=

53

12

×720=3180．

點評：本題是對數字變化規律的考查，讀懂題意，理解“差倒數”的定義是解題的關鍵，（2）觀察得到每三個數為一個循環組循環非常關鍵．