Question

如圖所示，已知F是以O為圓心，BC為直徑的半圓上任一點，A是弧BF的中點，AD⊥BC于點D，求證：AD=BF．

Answer 1

證明：連接OA，交BF于點E，
∵A是弧BF的中點，O為圓心，
∴OA⊥BF，
∴BE=BF，
∵AD⊥BC于點D，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
在△OAD與△OBE中，，
∴△OAD≌△OBE（AAS），
∴AD=BE，
∴AD=BF．
分析：連接OA，根據垂徑定理可知，BE=BF，再證明△OAD≌△OBE，進而得到AD=BE，從而問題得證．
點評：本題主要考查了垂徑定理及其推論，對于一個圓和一條直線，若直線具備①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優弧，⑤平分劣弧這五條中任意兩條，其他三條成立．