Question

如圖1，拋物線頂點坐標為點C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）連結CA，CB，對稱軸x=1與線段AB交于點D，求△CAB的鉛垂高CD及S_△CAB；
（3）如圖2，點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，連結PA，PB，是否存在一點P，使S_△PAB=S_△CAB？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據頂點坐標可設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+4，將點A的坐標代入，求出a的值，即可求得拋物線的解析式，由A、B坐標可求出直線AB的解析式；
（2）求出點D的縱坐標，再由點V的縱坐標即可得出CD的長度；
（3）過點P作PE⊥x軸交線段AB于點F，設點P（x，-x²+2x+3），則點F（x，-x+3），PF=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x，表示出S_△PAB，再由S_△PAB=S_△CAB，可得關于x的方程，解出即可．
解答：解：（1）∵拋物線的頂點為（1，4），
設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+4，
把點A（3，0）代入得：0=a（3-1）²+4，
解得：a=-1，
∴拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+4，
即y=-x²+2x+3，
當x=0時，y=3，
∴點B的坐標為（0，3），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
把點（3，0），B（0，3）代入得，，
解得，
∴直線的解析式為：y=-x+3；

（2）把x=1代入y=-x+3得：y=2，
則CD=4-2=2，
設對稱軸x=1與x軸交于點H，
S_△CAB=CD•OH+CD•HA=CD•OA=×2×3=3；

（3）過點P作PE⊥x軸交線段AB于點F，
設點P（x，-x²+2x+3），則點F（x，-x+3），PF=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x，
S_△PAB=PF•OA=×3（-x²+3x）=-x²+x（0＜x＜3），
要使S_△PAB=S_△CAB，
則有-x²+x=×3，即4x²-12x+9=0，
解得：x₁=x₂=，
當x=時，y=-x²+2x+3=，
∴點P的坐標為（，）．
點評：本題考查了二次函數的綜合，涉及了待定系數法求二次函數解析式、三角形的面積、一元二次方程的解，第一、第二問相對較簡單，難點在第三問，關鍵是設出點P坐標，得出點F坐標，表示出PF的長度，根據S_△PAB=S_△CAB建立方程．