Question

已知二次函數y=x²+bx-3的圖象經過點P（-2，5）
（1）求b的值并寫出當1＜x≤3時y的取值范圍；
（2）設P₁（m，y₁）、P₂（m+1，y₂）、P₃（m+2，y₃）在這個二次函數的圖象上，
①當m=4時，y₁、y₂、y₃能否作為同一個三角形三邊的長？請說明理由；
②當m取不小于5的任意實數時，y₁、y₂、y₃一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把（-2，5）代入二次函數y=x²+bx-3，求出b，根據圖象的對稱軸即可得出y的范圍；
（2）①不能，因為代入求出y₁=5，y₂=12，y₃=21，不符合三邊關系定理；②求出y₁+y₂-y₃的值即可．
解答：解：（1）把（-2，5）代入二次函數y=x²+bx-3得：5=4-2b-3，
∴b=-2，
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的開口方向向上，對稱軸是直線x=1，
把x=1代入得：y=-4，
把x=3代入得：y=0，
∴當1＜x≤3時y的取值范圍是-4＜y≤0，
答：b的值是-2，當1＜x≤3時y的取值范圍是-4＜y≤0．

（2）①答：當m=4時，y₁、y₂、y₃不能作為同一個三角形三邊的長．
理由是當m=4時，P₁（4，y₁）、P₂（5，y₂）、P₃（6，y₃），
代入拋物線的解析式得：y₁=5，y₂=12，y₃=21，
∵5+12＜21，
∴當m=4時，y₁、y₂、y₃不能作為同一個三角形三邊的長．

②理由是：∵把P₁（m，y₁）、P₂（m+1，y₂）、P₃（m+2，y₃）代入y=x²-2x-3=（x-1）²-4得：
∴y₁=（m-1）²-4，y₂=（m+1-1）²-4，y₃=（m+2-1）²-4，
∴y₁+y₂-y₃=（m-1）²-4+（m+1-1）²-4-[（m+2-1）²-4]=（m-2）²-8，
∵m≥5，
∴（m-2）²-8＞0，
∴y₁+y₂＞y₃，
根據三角形的三邊關系定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊（也可求出兩小邊的和大于第三邊），
∴當m取不小于5的任意實數時，y₁、y₂、y₃一定能作為同一個三角形三邊的長．
點評：本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，三角形的三邊關系定理等知識點的理解和掌握，能正確根據定理進行計算是解此題的關鍵．