Question

【題目】如圖，在矩形中，，點從點出發(fā)，沿向點勻速運動，速度為每秒1個單位，過點作，交對角線于點.點從點出發(fā)，沿對角線向點勻速運動，速度為每秒1個單位. 、兩點同時出發(fā)，設(shè)它們的運動時間為秒().

(1)當(dāng)時，求出的值;

(2)連接，當(dāng)時，求出的值;

(3)試探究:當(dāng)為何值時，是等腰三角形?

Answer 1

【答案】（1）t=；（2）t=；（3）滿足條件的時間t為或或或．

【解析】（1）判斷出△PBQ∽△DBC得出比例式建立方程即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出△BPM∽△BCD得出比例式求出PM=6-t，BM=10-t，再判斷出△ADM∽△PBQ，得出比例式建立方程即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

（1）在矩形ABCD中，AB=CD=6，BC=8，∴∠C=90°，BD=10，

根據(jù)題意得，CP=BQ=t，BP=8﹣t，∵PQ⊥BD，∴∠BQP=90°，∴∠BQP=∠C，

∵∠PBQ=∠DBC=45°，∴△PBQ∽△DBC，∴，∴，∴t=；

（2）∵PM⊥BC，∠C=90°，∴PM∥CD，∴△BPM∽△BCD，∴，

∴，∴PM=6﹣t，BM=10﹣t，∴DM=t，

∵PQ∥AM，∴∠AMQ=∠MQP，∴∠AMD=∠PQB，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADM=∠PBQ，∴△ADM∽△PBQ，

∴，∴，∴t=；

（3）

①當(dāng)點Q在線段BM上時，

Ⅰ、若PM=MQ，∴6﹣t=10﹣t，∴t=，

Ⅱ、若PM=PQ時，如圖1，作PN⊥MQ于N，

∴∠PNM=90°，MN=MQ=（10﹣t）=5﹣t，∴∠PNM=∠C，

∵PM∥CD，∴∠PMQ=∠BDC，∴△PMN∽△BDC，

∴，∴，∴t=，

Ⅲ、若MQ=PQ時，如備用圖1，作QE⊥PM于E，∴QE∥BP，ME=PM，

∴△QEM∽△BPM，∴，∴MQ=BQ，∴10﹣t=t，∴t=，

②當(dāng)點M在線段BQ上時，如備用圖2，∠PMQ是鈍角，∴只可能PM=QM，

∴6﹣t=t﹣（10﹣t），∴t=，即：滿足條件的時間t為或或或．