Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，一動直線l從y軸出發，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右平移，直線l與直線y=x相交于點P，以OP為半徑的⊙P與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B．設直線l的運動時間為t秒．
（1）填空：當t=1時，⊙P的半徑為______

Answer 1

【答案】分析：（1）利用垂徑定理、等腰直角三角形的性質求解；
（2）①本問關鍵是畫出符合條件的圖形，總共有3種情況，如答圖1所示，注意不要遺漏；
②關鍵點在于：首先，本問的圖形比較復雜，需正確作出圖形；其次，找到線段CD與AD之間的關聯，這就是Rt△DCE∽Rt△ADO，通過計算可知其相似比為1，即兩個三角形全等，從而得到CD=AD，△DAC為等腰直角三角形；
本問符合條件的點C有2個，因此存在兩種情形，分別如答圖2和答圖3所示，注意不要遺漏．
解答：解：（1），OA=2，OB=2； …（3分）

（2）符合條件的點C有3個，如圖1．
連接PA，∵∠AOB=90°，由圓周角定理可知，AB為圓的直徑，點A、P、B共線．
∵圓心P在直線y=x上，∴∠POA=∠POB=45°，
又∵PO=PA=PB，∴△POB與△POA均為等腰直角三角形．
設動直線l與x軸交于點E，則有E（t，0），P（t，t），B（0，2t）．
∵OBPC₁為平行四邊形，∴C₁P=OB=2t，C₁E=C₁P+PE=2t+t=3t，
∴C₁（t，3t）；
同理可求得：C₃（t，-t）；
∵OPBC₂為平行四邊形，且PB=PO，∠OPB=90°，
∴?OPBC₂為正方形，其對角線OB位于y軸上，則點P與點C₂關于x軸對稱，
∴C₂（-t，t）；
∴符合條件的點C有3個，分別為C₁（t，3t）、C₂（-t，t）、C₃（t，-t）；…（7分）

（3）△DAC是等腰直角三角形．理由如下：
當點C在第一象限時，如圖2，連接DA、DC、PA、AC．
由（2）可知，點C的坐標為（t，3t），由點P坐標為（t，t），點A坐標為（2t，0），點B坐標為（0，2t），
可知OA=OB=2t，△OAB是等腰直角三角形，
又PO=PB，進而可得△OPB也是等腰直角三角形，則∠POB=∠PBO=45°．
∵∠AOB=90°，∴AB為⊙P的直徑，∴A、P、B三點共線，
又∵BC∥OP，∴∠CBE=∠POB=45°，
∴∠ABC=180°-∠CBE-∠PBO=90°，
∴AC為⊙Q的直徑，∴DA⊥DC…（9分）
∴∠CDE+∠ADO=90°
過點C作CE⊥y軸于點E，則有∠DCE+∠CDE=90°，∴∠ADO=∠DCE，
∴Rt△DCE∽Rt△ADO，
∴，即，
解得OD=t或OD=2t
依題意，點D與點B不重合，∴舍去OD=2t，只取OD=t，
∴，即相似比為1，此時兩個三角形全等，則DC=AD，
∴△DAC是等腰直角三角形．…（11分）
當點C在第二象限時，如圖3，同上可證△DAC也是等腰直角三角形． …（12分）
綜上所述，當點C在直線y=x上方時，△DAC必為等腰直角三角形．…（13分）
點評：本題是代數幾何綜合題，綜合考查了圓、一次函數、平行四邊形、正方形、等腰直角三角形、相似三角形、全等三角形等知識點，圖形復雜，難度較大，對學生的數學能力要求很高．本題容易失分之處在于：其一，（2）①問中有三種情形，（2）②問中有兩種情形，學生容易遺漏；其二，（2）②問中找不到線段AD與CD之間的關聯關系（Rt△DCE∽Rt△ADO），從而無從判斷△DAC的形狀．