Question

如圖，菱形OABC在平面直角坐標系中，點C的坐標為（3，4），點A在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點D．動點P從A出發，以每秒2個單位的速度沿折線A-B-C向點C勻速運動，同時點Q從點D出發，以每秒個單位的速度沿DA向點A勻速運動；設點P、Q運動時間為t（秒）
（1）求點A的坐標；
（2）求△PCQ的面積S（S≠0）與運動時間t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）過點P作PH⊥AD于H，試求點P在運動的過程中t為何值時，tan∠PQH=？

Answer 1

解：（1）∵點C的坐標為（3，4），
∴OC==5，
又∵四邊形OABC為菱形，
∴OA=OC=5，
∴點A的坐標為（5，0）；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（5，0）和點C（3，4）分別代入得，5k+b=0，3k+b=4，解得k=-2，b=10，
∴OD=10，
∴AD==5，
延長BC交OD于M，則CM=3，OM=4，
∴DM=10-4=6，
DC==3；
①當點P在線段AB上，Q在線段CD上，
PA=2t，DQ=t，CQ=3-t，
過點P作PH⊥AD于H，如圖，
∵四邊形OABC為菱形，
∴∠PAH=∠OAD，
∴Rt△PHA∽Rt△DOA，
∴PH：OD=AH：OA=PA：AD，即PH：10=AH：5=2t：5，
∴PH=t，AH=t，
∴S=QC•PH=•（3-t）•t=-2t2+6t（0＜t≤2.5）
②當點P在線段BC上，Q在線段CD上，
PC=10-2t，
過點P作PH⊥AD于H，如圖，
易證Rt△PCH∽Rt△DAO，
∴PH：OD=CH：OA=PC：AD，即PH：10=CH：5=（10-2t）：5，
∴PH=4-t，CH=2-t，
∴S=PH•CQ=•（4-t）•（3-t）=2t²-16t+30（2.5＜t＜3）；
③當點P在線段BC上，Q在線段CA上，
過點P作PH⊥AD于H，如圖，
由②知PH=4-t，
∴S=PH•CQ=•（4-t）•（t-3）=-2t²+16t-30（3＜t＜5）；

（3）當0＜t≤2.5，
∵PH=t，AH=t，
∴QH=5-t-t=5-t，
∵tan∠PQH=，
∴PH：QH==，解得t=；
當2.5＜t＜3，
∵PH=4-t，CH=2-t，
∴QH=3-t+2-t=5-t，
∵tan∠PQH=，
∴PH：QH=（4-t）：（5-t）=，解得t=（舍去）；
當3＜t＜5，
∵PH=4-t，CH=2-t，
∴QH=t-3-（2-t）=t-5，
∵tan∠PQH=，
∴PH：QH=（4-t）：（t-5）=，解得t=；
∴點P在運動的過程中t為或時，tan∠PQH=．
分析：（1）由點C的坐標為（3，4），利用勾股定理得到OC的長，利用菱形的性質得到OA的長，即可確定點A的坐標；
（2）先利用待定系數法確定直線AC的解析式，得到DO=10，利用勾股定理得到DC、DA的長．然后分類討論：①當點P在線段AB上，Q在線段CD上；②當點P在線段BC上，Q在線段CD上；③當點P在線段BC上，Q在線段CA上；過點P作PH⊥AD于H，利用三角形相似比表示出PH，在根據三角形的面積公式分別表示出S；
（3）分類討論：當0＜t≤2.5；當2.5＜t＜3；當3＜t＜5，由（2）知道PH，然后分別表示出對應的QH，再根據正切的定義得到PH：QH=，解關于t的方程，得到滿足條件的t的值即可．
點評：本題考查了一次函數的綜合題：利用待定系數法確定一次函數的解析式，然后根據解析式確定線段的長或根據相似比求線段的長．也考查了菱形的性質、三角函數的定義以及分類討論思想的運用．