Question

【題目】（1）己知，如圖1，△ABC是⊙O的內接正三角形，點P為弧BC上一動點，請探究PA，PB，PC三者之間有何數量關系，并給予證明．

（2）如圖2，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，點P為弧BC上一動點，請探究PA，PB，PC三者之間有何數量關系，并給予證明．

（3）如圖3，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，點P為弧BC上一動點，請探究PA、PB、PC三者之間有何數量關系，直接寫出結論不需證明．

Answer 1

【答案】（1）PA=PB+PC；（2）PA=PC+PB；（3）PA=PB+PC．

【解析】

試題分析：（1）結論：PA=PB+PC．延長BP至E，使PE=PC，連接CE，證明△PCE是等邊三角形．利用CE=PC，∠E=∠3=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；

（2）結論：PA=PC+PB．過點B作BE⊥PB交PA于E，證明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB．

（3）結論：PA=PB+PC．在AP上截取AQ=PC，連接BQ可證△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因為∠APB=30°．所以PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC．

試題解析：

（1）延長BP至E，使PE=PC，連接CE，如圖1，∵A、B、P、C四點共圓，∴∠BAC+∠BPC=180°，∵∠BPC+∠EPC=180°，∴∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，∴△PCE是等邊三角形，∴CE=PC，∠E=60°；

又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP，∵△ABC、△ECP為等邊三角形，∴CE=PC，AC=BC，在△BEC和△APC中，∵CE=PC，∠BEC=∠ACP，BC=AC，∴△BEC≌△APC（SAS），∴PA=BE=PB+PC；

（2）過點B作BE⊥PB交PA于E，如圖2，∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°

∴∠1=∠3，∴∠APB=45°，∴BP=BE，∴PE=PB，在△ABE和△CBP中，∵BE=BP，∠1=∠3，AB=BC，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴PC=AE，∴PA=AE+PE=PC+PB；

（3）PA=PC+PB．

證明：過點B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，連接BQ，如圖3，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，在△ABQ和△CBP中，∵AQ=PC，∠BAP=∠BCP，AB=BC，∴△ABQ≌△CBP（SAS），∴BQ=BP，∴MP=QM，又∵∠APB=30°，∴cos30°=，∴PM=PB，∴PQ=PB，∴PA=PQ+AQ=PC+PB．