Question

（2004•重慶）如圖，ABCD是面積為a²的任意四邊形，順次連接各邊中點得到四邊形A₁B₁C₁D₁，再順次連接A₁B₁C₁D₁各邊中點得到四邊形A₂B₂C₂D₂，重復同樣的方法直到得到四邊形A_nB_nC_nD_n，則四邊形A_nB_nC_nD_n的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：連接對角線，運用三角形中位線定理探索規律求解．
解答：解：連接AC，BD．
∵四邊形A₁B₁C₁D₁是順次連接各中點得到的，
∴===，
故△BB₁A_I∽△BCA，相似比為，面積比為，即S_△BB1AI=S_△BCA，
同理可得S_△DD1C1=S_△DD1C1，即S_△BB1AI+S_△DD1C1=（S_△DD1C1+S_△BCA）=S_{四邊形ABCD}，
同理可得S_△CC1B1+S_△AA1D1=S_{四邊形ABCD}，故
S_△BB1AI+S_△DD1C1+S_△CC1B1+S_△AA1D1=S_{四邊形ABCD}，
則S_{四邊形A1B1C1D1}=S_{四邊形ABCD}=，
同理可得第二個小四邊形的面積為×即．
第三個面積為，以此類推第n個四邊形的面積為．
點評：此題屬規律性題目，解答此題的關鍵是求出四邊形A₁B₁C₁D₁的面積，再依此類推求出第二，第三個四邊形的面積，找出規律，即可求得第n個四邊形的面積．