Question

如圖所示，在梯形ABCD中，已知AB∥DC， AD⊥DB，AD=DC=CB，
AB=4．以AB所在直線為軸，過D且垂直于AB的直線為軸建立平面直角坐標系．

【小題1】（1）求∠DAB的度數及A、D、C三點的坐標；
【小題2】（2）求過A、D、C三點的拋物線的解析式及其
對稱軸L．
【小題3】（3）若P是拋物線的對稱軸L上的點，那么使
PDB為等腰三角形的點P有幾個?
（不必求點P的坐標，只需說出個數即可）

Answer 1

【小題1】（1） ∵DC∥AB，AD=DC=CB，
∴ ∠CDB=∠CBD=∠DBA，
∠DAB=∠CBA，
∴∠DAB=2∠DBA，
∵∠DAB+∠DBA=90，
∴∠DAB=60 …………3分
∵∠DBA=30， AB=4，
∴DC=AD=2，
Rt△AOD，OA=1，OD=，
∴A（-1，0），D（0，），C（2，）．
【小題2】（2）由已知得，滿足條件的拋物線必過點A（-1，0），B（3，0），D（0， ）
故可設所求為 =x²+bx+c   ……………6分
將點的坐標代入上式得 , 解得，
所求拋物線的解析式為 =    ……………9分
其對稱軸L為直線=1．
【小題3】（3）使PDB為等腰三角形的點P有5個．…………12分
PDB為等腰三角形，有以下三種情況：
①因直線L與DB不平行，DB的垂直平分線與L僅有一個交點P₁，P₁D=P₁B，
P₁DB為等腰三角形；
②因為以D為圓心，DB為半徑的圓與直線L有兩個交點P₂、P₃，DB=DP₂，DB=DP₃， P₂DB， P₃DB為等腰三角形；
③與②同理，L上也有兩個點P₄、P₅，使得 BD=BP₄，BD=BP₅．
由于以上各點互不重合，所以在直線L上，使PDB為等腰三角形的點P有5個解析:
略