Question

將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB=，P是AC上的一個動點．
（1）當點P運動到∠ABC的平分線上時，連接DP，求DP的長；
（2）當點P在運動過程中出現PD=BC時，求此時∠PDA的度數；
（3）當點P運動到什么位置時，以D，P，B，Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上？求出此時?DPBQ的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）作DF⊥AC，由AB的長求得BC、AC的長．在等腰Rt△DAC中，DF=FA=FC；在Rt△BCP中，求得PC的長．則由勾股定理即可求得DP的長．
（2）由（1）得BC與DF的關系，則DP與DF的關系也已知，先求得∠PDF的度數，則∠PDA的度數也可求出，需注意有兩種情況．
（3）由于四邊形DPBQ為平行四邊形，則BC∥DF，P為AC中點，作出平行四邊形，求得面積．
解答：解：在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，
∴BC=，AC=3．
（1）如圖（1），作DF⊥AC．
∵Rt△ACD中，AD=CD，
∴DF=AF=CF=．
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=30°，
∴CP=BC•tan30°=1，
∴PF=，
∴DP==．

（2）當P點位置如圖（2）所示時，
根據（1）中結論，DF=，∠ADF=45°，
又∵PD=BC=，
∴cos∠PDF==，
∴∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°．
當P點位置如圖（3）所示時，同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．
故∠PDA的度數為15°或75°；

（3）當點P運動到邊AC中點（如圖4），即CP=時，
以D，P，B，Q為頂點的平行四邊形的頂點Q恰好在邊BC上．
∵四邊形DPBQ為平行四邊形，
∴BC∥DP，
∵∠ACB=90°，
∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．
而在Rt△ABC中，AB=2，BC=，
∴根據勾股定理得：AC=3，
∵△DAC為等腰直角三角形，
∴DP=CP=AC=，
∵BC∥DP，
∴PC是平行四邊形DPBQ的高，
∴S_{平行四邊形DPBQ}=DP•CP=．
點評：本題考查了解直角三角形的應用，綜合性較強，難度系數較大．