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小明想用一塊三角形廢料截取一個正方形,如圖所示,操作如下:過AB上點D作DE⊥BC,以DE為邊作正方形DEFG,隨后他又改變了主意,想盡可能的利用廢料,在△ABC內部截一個正方形,使一邊在BC上,另外兩點位于AB、AC上,利用你所學知識,幫他畫出來.
(1)在小明作圖的基礎上作出正方形,簡述作法;
(2)證明你所作的四邊形是正方形;
(3)若BC=120cm,BC邊上的高為80cm,求所作正方形的邊長.

【答案】分析:(1)根據在△ABC內部截一個正方形,由原正方形與所畫正方形位置關系可以判斷出,需要做原正方形的位似圖形,
(2)證明所畫圖形是正方形可以證明它們是位似圖形,
(3)利用相似三角形對應高的比也等于相似比,可以求出,注意所畫圖形是正方形,用同一未知數表示未知邊,即可求出.
解答:(1)解:位似畫法,
連接BG并延長到△ABC的邊AC上一點N,過點N做MN∥BC,交邊AB于一點M,過點M做MT⊥BC于點T,過點N做NK⊥BC于一點k,所得圖形就是所要正方形.

(2)證明:點D與M;點E與T;點G與N;點F與K;相交于一點,
而且MN∥DG,NK∥GF;DE∥MT;FE與TK在一條直線上,
所以正方形DEFG與四邊形MTKN是位似圖形,
所以四邊形MTKN是正方形.

(3)解:假設正方形邊長為x厘米,過點A,做AS⊥BC,交MN于點P,交BC于點S,
在△ABC中可得:

∵BC=120cm,BC邊上的高為80cm,
∴AS=80cm,MN=x cm,AP=(80-x)cm代入上式得:

解得:x=48cm
答:正方形的邊長是48cm.
點評:此題主要考查了位似圖形的畫法,以及位似圖形的判定方法,以及相似三角形中對應高與相似比的關系,題目比較新穎.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片,利用其剪裁一個正方形DEFG,使正方形的一條邊DE落在BC上,頂點F、G分別落在AC、AB上.
Ⅰ、證明:△BDG≌△CEF;
Ⅱ、探究:怎樣在鐵片上準確地畫出正方形.
小聰和小明各給出了一種想法,請你在Ⅱa和Ⅱb的兩個問題中選擇一個你喜歡的問題解答.如果兩題都解,只以Ⅱa的解答記分.
Ⅱa、小聰想:要畫出正方形DEFG,只要能計算出正方形的邊長就能求出BD和CE的長,從而確定D點和E點,再畫正方形DEFG就容易了.
設△ABC的邊長為2,請你幫小聰求出正方形的邊長.(結果用含根號的式子表示,不要求分母有理化)
Ⅱb、小明想:不求正方形的邊長也能畫出正方形.具體作法是:
①在AB邊上任取一點G′,如圖作正方形G′D′E′F′;
②連接BF′并延長交AC于F;
③作FE∥F′E′交BC于E,FG∥F′G′交AB于G,GD∥G′D′交BC于D,則四精英家教網邊形DEFG即為所求.
你認為小明的作法正確嗎?說明理由.

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科目:初中數學 來源:第19章《相似形》中考題集(14):19.6 相似三角形的性質(解析版) 題型:解答題

△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片,利用其剪裁一個正方形DEFG,使正方形的一條邊DE落在BC上,頂點F、G分別落在AC、AB上.
Ⅰ、證明:△BDG≌△CEF;
Ⅱ、探究:怎樣在鐵片上準確地畫出正方形.
小聰和小明各給出了一種想法,請你在Ⅱa和Ⅱb的兩個問題中選擇一個你喜歡的問題解答.如果兩題都解,只以Ⅱa的解答記分.
Ⅱa、小聰想:要畫出正方形DEFG,只要能計算出正方形的邊長就能求出BD和CE的長,從而確定D點和E點,再畫正方形DEFG就容易了.
設△ABC的邊長為2,請你幫小聰求出正方形的邊長.(結果用含根號的式子表示,不要求分母有理化)
Ⅱb、小明想:不求正方形的邊長也能畫出正方形.具體作法是:
①在AB邊上任取一點G′,如圖作正方形G′D′E′F′;
②連接BF′并延長交AC于F;
③作FE∥F′E′交BC于E,FG∥F′G′交AB于G,GD∥G′D′交BC于D,則四邊形DEFG即為所求.
你認為小明的作法正確嗎?說明理由.

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科目:初中數學 來源:第29章《相似形》中考題集(15):29.5 相似三角形的性質(解析版) 題型:解答題

△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片,利用其剪裁一個正方形DEFG,使正方形的一條邊DE落在BC上,頂點F、G分別落在AC、AB上.
Ⅰ、證明:△BDG≌△CEF;
Ⅱ、探究:怎樣在鐵片上準確地畫出正方形.
小聰和小明各給出了一種想法,請你在Ⅱa和Ⅱb的兩個問題中選擇一個你喜歡的問題解答.如果兩題都解,只以Ⅱa的解答記分.
Ⅱa、小聰想:要畫出正方形DEFG,只要能計算出正方形的邊長就能求出BD和CE的長,從而確定D點和E點,再畫正方形DEFG就容易了.
設△ABC的邊長為2,請你幫小聰求出正方形的邊長.(結果用含根號的式子表示,不要求分母有理化)
Ⅱb、小明想:不求正方形的邊長也能畫出正方形.具體作法是:
①在AB邊上任取一點G′,如圖作正方形G′D′E′F′;
②連接BF′并延長交AC于F;
③作FE∥F′E′交BC于E,FG∥F′G′交AB于G,GD∥G′D′交BC于D,則四邊形DEFG即為所求.
你認為小明的作法正確嗎?說明理由.

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科目:初中數學 來源:第24章《圖形的相似》中考題集(15):24.3 相似三角形(解析版) 題型:解答題

△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片,利用其剪裁一個正方形DEFG,使正方形的一條邊DE落在BC上,頂點F、G分別落在AC、AB上.
Ⅰ、證明:△BDG≌△CEF;
Ⅱ、探究:怎樣在鐵片上準確地畫出正方形.
小聰和小明各給出了一種想法,請你在Ⅱa和Ⅱb的兩個問題中選擇一個你喜歡的問題解答.如果兩題都解,只以Ⅱa的解答記分.
Ⅱa、小聰想:要畫出正方形DEFG,只要能計算出正方形的邊長就能求出BD和CE的長,從而確定D點和E點,再畫正方形DEFG就容易了.
設△ABC的邊長為2,請你幫小聰求出正方形的邊長.(結果用含根號的式子表示,不要求分母有理化)
Ⅱb、小明想:不求正方形的邊長也能畫出正方形.具體作法是:
①在AB邊上任取一點G′,如圖作正方形G′D′E′F′;
②連接BF′并延長交AC于F;
③作FE∥F′E′交BC于E,FG∥F′G′交AB于G,GD∥G′D′交BC于D,則四邊形DEFG即為所求.
你認為小明的作法正確嗎?說明理由.

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科目:初中數學 來源:2012年中考數學模擬試卷(六)(解析版) 題型:解答題

△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片,利用其剪裁一個正方形DEFG,使正方形的一條邊DE落在BC上,頂點F、G分別落在AC、AB上.
Ⅰ、證明:△BDG≌△CEF;
Ⅱ、探究:怎樣在鐵片上準確地畫出正方形.
小聰和小明各給出了一種想法,請你在Ⅱa和Ⅱb的兩個問題中選擇一個你喜歡的問題解答.如果兩題都解,只以Ⅱa的解答記分.
Ⅱa、小聰想:要畫出正方形DEFG,只要能計算出正方形的邊長就能求出BD和CE的長,從而確定D點和E點,再畫正方形DEFG就容易了.
設△ABC的邊長為2,請你幫小聰求出正方形的邊長.(結果用含根號的式子表示,不要求分母有理化)
Ⅱb、小明想:不求正方形的邊長也能畫出正方形.具體作法是:
①在AB邊上任取一點G′,如圖作正方形G′D′E′F′;
②連接BF′并延長交AC于F;
③作FE∥F′E′交BC于E,FG∥F′G′交AB于G,GD∥G′D′交BC于D,則四邊形DEFG即為所求.
你認為小明的作法正確嗎?說明理由.

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