Question

如圖，正方形ABCD中，E是AB邊的中點，F(xiàn)在BC邊上且BF=1，F(xiàn)C=3，連接DE、DF、EF，
（1）求證：△ADE∽△BEF； 
（2）求△DEF的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)E為AB中點，BF、FC的長度即可求得△ADE∽△BEF；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可以證明∠DEF=90°，根據(jù)勾股定理即可求得EF、DE的長，即可解題．

解答：解：（1）∵BF=1，F(xiàn)C=3，E為AB中點，
∴AE=EF=2，
∴

AE

AD

=

BF

BE

=

1

2

，
又∵∠DAE=∠EBF=90°，
∴△ADE∽△BEF；

（2）∵△ADE∽△BEF，
∴∠AED=∠BFE，
∴∠DEF=180°-∠BEF-∠BFE=90°，
∵DE=

AD2+ AE2

=2

5

，
EF=

BE2+BF2

=

5

，
∴△DEF的面積=

1

2

DE•EF=

1

2

×2

5

×

5

=5．

點評：本題考查了相似三角形的證明，考查了直角三角形的判定，考查了直角三角形面積的計算，考查了相似三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求△ADE∽△BEF是解題的關(guān)鍵．