Question

（2011•資陽）如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點F．
（1）若點F與B重合，求CE的長；
（2）若點F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長；
（3）設CE=x，BF=y，寫出y關于x的函數關系式（直接寫出結果可）．

Answer 1

分析：（1）先證明四邊形ABED為矩形，CE=BC-AD，繼而即可求出答案；
（2）設AF=CE=x，則HE=x-3，BF=7-x，再通過證明△BEF∽△HDE，根據對應邊成比例，然后代入求解即可；
（3）綜合（1）（2）兩種情況，然后代入求出解析式即可．

解答：解：（1）∵F與B重合，且EF⊥DE，
∴DE⊥BC，（1分）
∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABED為矩形，（2分）
∴BE=AD=9，
∴CE=12-9=3．（3分）

（2）作DH⊥BC于H，
則DH=AB=7，CH=3．
設AF=CE=x，
∵F在線段AB上，
∴點E在線段BH上，CH=3，CE=x，
∴HE=x-3，BF=7-x，（4分）
∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，
∴∠BEF=∠HDE，
又∵∠B=∠DHE=90°，
∴△BEF∽△HDE，（6分）
∴

BF

HE

=

BE

DH

，
∴

7-x

x-3

=

12-x

7

，
整理得x²-22x+85=0，
（x-5）（x-17）=0，
∴x=5或17，
經檢驗，它們都是原方程的解，但x=17不合題意，舍去．
∴x=CE=5．（7分）

（3）作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，CE=x，BF=y，
∴則HE=x-3，BF=y，
當3≤x≤12時，
易證△BEF∽△HDE，
∴

y

12-x

=

x-3

7

，
∴y=-

1

7

x²+

15

7

x-

36

7

，
當0≤x＜3，
易證△BEF∽△HDE，
則HE=3-x，BF=y，
∴

y

12-x

=

3-x

7

，
∴y=

1

7

x²-

15

7

x+

36

7

，
∴y=

1 7 x2- 15 7 x+ 36 7 (0≤x＜3) - 1 7 x2+ 15 7 x- 36 7 (3≤x≤12).

．

點評：本題考查直角梯形的知識，同時考查了矩形的判定與性質、相似三角形的判定與性質，是一道小的綜合題，注意對這些知識的熟練掌握并靈活應用．