Question

【題目】請閱讀下列材料，并完成相應的任務：

阿基米德折弦定理

阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內容，蘇聯在1964年根據Al-Biruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．

阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC>AB，M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD．

下面是運用“截長法”證明CD=AB+BD的部分證明過程．

證明：如圖，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M是的中點， ∴MA=MC ．．．

任務：（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

（2）填空：如圖（3），已知等邊△ABC內接于，AB=2，D為圓上一點，∠ABD=45°，AE⊥BD與點E，則△BDC的周長是 ．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2+2.

【解析】

（1）如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG，首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性質得出BD=GD，即可得出答案；

（2）如圖3，截取BF=CD，連接AF，AD，CD．首先證明△ABF≌ACD（SAS），進而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，進而求出DE的長即可得出答案．

（1）證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中點，

∴MA=MC．

在△MBA和△MGC中

∵，

∴△MBA≌△MGC（SAS），

∴MB=MG，

又∵MD⊥BC，

∴BD=GD，

∴DC=GC+GD=AB+BD；

（2）解：如圖3，截取BF=CD，連接AF，AD，CD，

由題意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，

在△ABF和△ACD中

∵，

∴△ABF≌ACD（SAS），

∴AF=AD，

∵AE⊥BD，

∴FE=DE，則CD+DE=BE，

∵∠ABD=45°，AB=2

∴BE=，

∴BD+CD=2BE=2，

∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AB=2，

則△BDC的周長是2+2．