Question

已知拋物線經過點A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），與x軸正半軸交于點D．
（1）求此拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）在x軸上求一點E，使得△BCE是以BC為底邊的等腰三角形；
（3）在（2）的條件下，過線段ED上動點P作直線PF∥BC，與BE、CE分別交于點F、G，將△EFG沿FG翻折得到△E′FG．設P（x，0），△E′FG與四邊形FGCB重疊部分的面積為S，求S與x的函數關系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線經過點A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），于是可設出一般式，用待定系數法求出解析式，再根據解析式求出D點坐標；
（2）設出E點坐標，作出輔助直角三角形，運用等腰三角形的性質和勾股定理建立等式，求出E點坐標；
（3）由于P點為動點，故根據x的不同取值會得到不同的重疊圖形．由于BC的中點橫坐標為

1+3

2

=2，拋物線與x軸的交點橫坐標4，所以分-1＜x≤2，2＜x≤4等情況討論．

解答：解：（1）依題意，設所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+4，
則

4=a+b+4 2=9a+3b+4

，（1分）
解得

a=- 1 3 b= 1 3

，
∴所求拋物線的解析式為y=-

1

3

x2+

1

3

x+4．（2分）
由-

1

3

x2+

1

3

x+4=0，
解得x₁=4，x₂=-3．
∴D（4，0）．（3分）

（2）如圖，過點C作CN⊥x軸于N，過點E、B分別
作x軸、y軸的垂線，兩線交于點M．
∴∠M=∠CNE=90度．
設E（a，0），EB=EC．
∴BM²+EM²=CN²+EN²．
∴（1-a）²+（4-0）²=（2-0）²+（3-a）²．
解得a=-1．
∴E（-1，0）．（4分）

（3）可求得直線BC的解析式為y=-x+5．
從而直線BC與x軸的交點為H（5，0）．
如圖，根據軸對稱性可知S_△E′FG=S_△EFG，
當點E′在BC上時，點F是BE的中點．
∵FG∥BC，
∴△EFP∽△EBH．
可證EP=PH．
∵E（-1，0），H（5，0），
∴P（2，0）．（5分）
（i）如圖，分別過點B、C作BK⊥ED于K，
CJ⊥ED于J，
則S_△BCE=S_△BEH-S_△CEH=

1

2

EH•（BK-CJ）=6．
當-1＜x≤2時，
∵PF∥BC，
∴△EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC．
∴

EG

EC

=

EP

EH

，

S△EFG

S△EBC

=

EG2

EC2

=

EP2

EH2

∵P（x，0），E（-1，0），H（5，0），
∴EP=x+1，EH=6．
∴S=S_△E′FG=S_△EFG=

(x+1)2

6

=

1

6

x²+

1

3

x+

1

6

（-1＜x≤2）．（6分）
（ii）如圖，當2＜x≤4時，在x軸上截取一點Q，使得PQ=HP，過點Q作
QM∥FG，分別交EB、EC于M、N．
可證S=S_{四邊形MNGF}，△ENQ∽△ECH，△EMN∽△EBC．
∴

EN

EC

=

EQ

EH

，

S△EFG

S△EBC

=

EN2

EC2

=

EQ2

EH2

∵P（x，0），E（-1，0），H（5，0），
∴EH=6，PQ=PH=5-x，EP=x+1，
EQ=6-2（5-x）=2x-4．
∴S_△EMN=

(2x-4)2

6

（7分）
同（i）可得S_△EFG=

(x+1)2

6

，
∴S=S_△EFG-S_△EMN=

(x+1)2

6

-

(2x-4)2

6

=-

1

2

x²+3x-

5

2

（2＜x≤4）．（8分）
綜上，S=

1 6 x2+ 1 3 x+ 1 6 (-1＜x≤2) - 1 2 x2+3x- 5 2 (2＜x≤4)

．

點評：此題不僅考查了用待定系數法求二次函數解析式，還結合等腰三角形的性質考查了運用勾股定理求線段的長，解（3）時要注意進行分類討論．