Question

【題目】大學生小張利用暑假50天在一超市勤工儉學，被安排銷售一款成本為40元/件的新型商品，此類新型商品在第x天的銷售量p件與銷售的天數x的關系如下表：

x（天）	1	2	3	…	50
p（件）	118	116	114	…	20

銷售單價q（元/件）與x滿足：當1≤x＜25時q=x+60；當25≤x≤50時q=40+ ．
（1）請分析表格中銷售量p與x的關系，求出銷售量p與x的函數關系．
（2）求該超市銷售該新商品第x天獲得的利潤y元關于x的函數關系式．
（3）這50天中，該超市第幾天獲得利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：設銷售量p件與銷售的天數x的函數解析式為p=kx+b，

代入（1，118），（2，116）得

解得

因此銷售量p件與銷售的天數x的函數解析式為p=﹣2x+120

（2）解：當1≤x＜25時，

y=（60+x﹣40）（﹣2x+120）

=﹣2x2+80x+2400，

當25≤x≤50時，

y=（40+ ﹣40）（﹣2x+120）

= ﹣2250

（3）解：當1≤x＜25時，

y=﹣2x2+80x+2400，

=﹣2（x﹣20）2+3200，

∵﹣2＜0，

∴當x=20時，y有最大值y1，且y1=3200；

當25≤x≤50時，

y= ﹣2250；

∵135000＞0，

∴ 隨x的增大而減小，

當x=25時， 最大，

于是，x=25時，y= ﹣2250有最大值y2，且y2=5400﹣2250=3150．

∵y1＞y2

∴這50天中第20天時該超市獲得利潤最大，最大利潤為3200元

【解析】（1）由表格可以看出銷售量p件與銷售的天數x成一次函數，設出函數解析式，進一步代入求得答案即可；（2）利用利潤=售價﹣成本，分別求出在1≤x＜25和25≤x≤50時，求得y與x的函數關系式；（3）利用（2）中的函數解析式分別求得最大值，然后比較兩者的大小得出答案即可．