Question

如圖，等邊三角形ABC和等邊三角形DEC，CE和AC重合，CE=AB．
（1）求證：AD=BE；
（2）若CE繞點C順時針旋轉30度，連BD交AC于點G，取AB的中點F連FG．求證：BE=2FG；
（3）在（2）的條件下AB=2，則AG=______．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】分析：（1）由三角形ABC和等三角形DEC都是等邊三角形，得到∠BCE=∠ACD=60°，CE=CD，CB=CA，則△CBE≌△CAD，從而得到BE=AD．
（2）過B作BT⊥AC于T，連AD，則∠ACE=30°，得∠GCD=90°，而CE=AB，BT=AB，得BT=CD，可證得Rt△BTG≌Rt△DCG，
有BG=DG，而F為AB的中點，所以FG∥AD，FG=AD，易證Rt△BCE≌Rt△ACD，得到BE=AD=2FG；
（3）由（2）Rt△BTG≌Rt△DCG，得到AT=TC，GT=CT，即可得到AG=．
解答：解：（1）證明：∵三角形ABC和等三角形DEC都是等邊三角形，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CE=CD，CB=CA，
∴△CBE≌△CAD，
∴BE=AD．

（2）證明：過B作BT⊥AC于T，連AD，如圖：

∵CE繞點C順時針旋轉30度，
∴∠ACE=30°，
∴∠GCD=90°，
又∵CE=AB，
而BT=AB，
∴BT=CD，
∴Rt△BTG≌Rt△DCG，∴BG=DG．
∵F為AB的中點，
∴FG∥AD，FG=AD，
∵∠BCE=∠ACD=90°，
CB=CA，CE=CD，
∴Rt△BCE≌Rt△ACD．∴BE=AD，
∴BE=2FG；

（3）∵AB=2，
由（2）Rt△BTG≌Rt△DCG，
∴AT=TC，GT=CG，
∴GT=，
∴AG=．
故答案為．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線段所夾的角等于旋轉角．也考查了等邊三角形的性質、三角形全等的判定與性質以及三角形中位線的性質．