Question

（2003•哈爾濱）如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，O₁A切⊙O₂于點A，過點O；作⊙O₂的割線O₁HD經過點O₂，交AB于點E，BC是⊙O₂的直徑．
（1）求證：O₁E•AC=AE•AB；
（2）若O₁E=1，AC=8，求O₁H的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證O₁E•AC=AE•AB，可由△O₁AE∽△BCA得出；
（2）求O₁H的長，可以O₁O₂-O₂H，即O₁E+O₂E-O₂H，由題意求出相關線段即可．
解答：（1）證明：∵⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點
∴O₁O₂⊥AB
∵BC是⊙O₂的直徑
∴∠BAC=∠O₁AE=90°
∵O₁A切⊙O₂于點A
∴∠O₁AE=∠C
∴△O₁AE∽△BCA
∴O₁E：AB=AE：AC
∴O₁E•AC=AE•AB；

（2）解：∵⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點
∴AE=EB=0.5AB
∴AE=2
∵∠BAC=∠O₁AE=90°
∴O₁O₂∥AC，O₂B=O₂C
∴O₂E=0.5AC=4，O₂B²=BE²+O₂E²=20
∴O₂B=2
∴O₁H=O₁O₂-O₂H=O₁E+O₂E-O₂H=5-2．
點評：本題考查了相似三角形的判斷和性質，切線的性質，勾股定理等知識．有一定難度．