Question

【題目】如圖1，是用量角器一個角的操作示意圖，量角器的讀數從M點開始（即M點的讀數為0），如圖2，把這個量角器與一塊30°（∠CAB＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合，現有射線C繞點C從CA開始沿順時針方向以每秒2°的速度旋轉到與CB，在旋轉過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．連接BE．

（1）當射線CP經過AB的中點時，點E處的讀數是　 　，此時△BCE的形狀是　 　；

（2）設旋轉x秒后，點E處的讀數為y，求y與x的函數關系式；

（3）當CP旋轉多少秒時，△BCE是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）60°，直角三角形；（2）y＝4x（0≤x≤45）；（3）7.5秒或30秒

【解析】

（1）根據圓周角定理即可解決問題；

（2）如圖2﹣2中，由題意∠ACE＝2x，∠AOE＝y，根據圓周角定理可知∠AOE＝2∠ACE，可得y＝2x（0≤x≤45）；

（3）分兩種情形分別討論求解即可；

解：（1）如圖2﹣1中，

∵∠ACB＝90°，OA＝OB，

∴OA＝OB＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC＝30°，

∴∠AOE＝60°，

∴點E處的讀數是60°，

∵∠E＝∠BAC＝30°，OE＝OB，

∴∠OBE＝∠E＝30°，

∴∠EBC＝∠OBE+∠ABC＝90°，

∴△EBC是直角三角形；

故答案為60°，直角三角形；

（2）如圖2﹣2中，

∵∠ACE＝2x，∠AOE＝y，

∵∠AOE＝2∠ACE，

∴y＝4x（0≤x≤45）．

（3）①如圖2﹣3中，當EB＝EC時，EO垂直平分線段BC，

∵AC⊥BC，

∵EO∥AC，

∴∠AOE＝∠BAC＝30°，

∴∠ECA＝∠AOE＝15°，

∴x＝7.5．

②若2﹣4中，當BE＝BC時，

易知∠BEC＝∠BAC＝∠BCE＝30°，

∴∠OBE＝∠OBC＝60°，

∵OE＝OB，

∴△OBE是等邊三角形，

∴∠BOE＝60°，

∴∠AOB＝120°，

∴∠ACE＝∠ACB＝60°，

∴x＝30，

綜上所述，當CP旋轉7.5秒或30秒時，△BCE是等腰三角形；