Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c過點A、B且與y軸交與點C（0，3），點P為拋物線對稱軸x=l上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當AP+CP最小時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）P點坐標為（1，2）．

【解析】

試題分析：（1）先把C（0，3）代入y=ax2+2x+c可求得c=3，再利用對稱軸方程可求出a=﹣1，于是得到拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）利用拋物線與x軸的交點問題，通過解方程﹣x2+2x+3=0得到A（﹣1，0），B（3，0），連結BC交直線x=1于點P，如圖，利用兩點之間線段最短可判斷此時PC+PA最小，利用待定系數法可計算出直線BC的解析式為y=﹣x+3，然后計算x=1的函數值即可得到P點坐標．

解：（1）把C（0，3）代入y=ax2+2x+c得c=3，

因為拋物線的對稱軸為直線x=1，

所以﹣=1，解得a=﹣1，

所以拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）當y=0時，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=﹣3，則A（﹣1，0），B（3，0），

連結BC交直線x=1于點P，連接PA，如圖，

∵PA=PB，

∴PA+PC=PC+PB=BC，

∴此時PC+PA最小，

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（3，0），C（0，3）代入得，解得，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

當x=1時，y=﹣x+3=2，

∴P點坐標為（1，2）．