Question

已知拋物線y=x²-x-2．
（1）求拋物線頂點M的坐標；
（2）若拋物線與x軸的交點分別為點A、B（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q．當點N在線段BM上運動時（點N不與點B，點M重合），設NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數關系式及自變量t的取值范圍；
（3）在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將已知的拋物線解析式化為頂點坐標式，即可求出拋物線頂點M的坐標．
（2）根據拋物線的解析式可求出A、B、C三點的坐標，進而可求出直線BM的解析式，已知了QN=t，即N點縱坐標為-t，代入直線BM的解析式中，可求得Q點的橫坐標即OQ得長，分別求出△OAC、梯形QNCO的面積，它們的面積和即為所求的四邊形QNCO的面積，由此可求出S、t的函數關系式．
（3）根據函數的圖象及A、C的位置，可明顯的看出∠APC不可能是直角，因此此題要分兩種情況討論：
①∠PAC=90°，設出點P的坐標，然后表示出AC²、PA²、PC²的值，根據勾股定理可得到關于P點橫、縱坐標的等量關系式，聯立拋物線的解析式，即可求出此時點P的坐標；
②∠PCA=90°，解法同①．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²-x-2=（x-

1

2

）²-

9

4

，
∴頂點M的坐標為(

1

2

，-

9

4

)．（1分）

（2）拋物線與y=x²-x-2與x軸的兩交點為A（-1，0），B（2，0），
設線段BM所在直線的解析式為y=kx+b，
∴

2k+b=0 1 2 k+b=- 9 4

，
解得

k= 3 2 b=-3

；
∴線段BM所在直線的解析式為y=

3

2

x-3，（2分）
設點N的坐標為（x，-t）．
∵點N在線段BM上，
∴-t=

3

2

x-3．
∴x=-

2

3

t+2．
∴S_{四邊形NQAC}=S_△AOC+S_梯形OQNC
=

1

2

×1×2+

1

2

(2+t)(-

2

3

t+2)=-

1

3

t2+

1

3

t+3．（3分）
∴S與t之間的函數關系式為S=-

1

3

t2+

1

3

t+3，自變量t的取值范圍為0＜t＜

9

4

．（4分）

（3）假設存在符合條件的點P，設點P的坐標為P（m，n），則m＞

1

2

且n=m²-m-2；
PA²=（m+1）²+n²，PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，
分以下幾種情況討論：
①若∠PAC=90°，則PC²=PA²+AC²．
∴

n=m2-m-2 m2+(n+2)2=(m+1)2+n2+5

，
解得m1=

5

2

，m₂=-1；
∵m＞

1

2

，
∴m=

5

2

，
∴P1(

5

2

，

7

4

)；（6分）
②若∠PCA=90°，則PA²=PC²+AC²
∴

n=m2-m-2 (m+1)2+n2=m2+(n+2)2+5

，
解得m3=

3

2

，m₄=0，
∵m＞

1

2

，
∴m=

3

2

，
∴P2(

3

2

，-

5

4

)；
當點P在對稱軸右側時，PA＞AC，
所以邊AC的對角∠APC不可能是直角，
∴存在符合條件的點P，且坐標為P1(

5

2

，

7

4

)，P2(

3

2

，-

5

4

)．（8分）

點評：此題是二次函數的綜合題，考查了二次函數頂點坐標及函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、圖形面積的求法、直角三角形的判定、勾股定理等知識，要注意的是（3）題一定要根據不同的直角頂點分類討論，以免漏解．