Question

如圖，等腰直角△ABC和等邊△AEF都是半徑為R的圓的內接三角形．
（1）求AF的長；
（2）通過對△ABC和△AEF的觀察，請你先猜想誰的面積大，再證明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OF，過O作OG⊥AF于G，在直角△OGF中，利用三角函數即可求解；
（2）根據外接圓的半徑是R，即可求得等腰直角△ABC和等邊△AEF的面積，即可作出比較．
解答：解：（1）連接OF，過O作OG⊥AF于G，OF=R，
又∵△AEF為等邊三角形，
∴∠AOF=120°，
∴∠GOF=60°，
∴GF=R，則AF=R

（2）S_△ABC＜S_△AEF，
∵直角△ABC是等腰直角三角形．
∴AB=2R，
∴AC=R，
∴S_△ABC=R²
，，
∴S_△ABC＜S_△AEF
點評：本題主要考查了正多邊形與圓的計算，正確理解等腰直角三角形的斜邊就是外接圓的直徑，正多邊形的計算可以轉化為直角三角形的計算．